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    【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ= 4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数).

    （1）求曲线的直角坐标方程及直线l的普通方程；

    （2）若曲线的参数方程为(α为参数)，曲线上点P的极角为Q为曲线上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.

    【答案】（1），；（2）

    【解析】

    （1）利用极坐标和直角坐标的转换公式，求得的直角坐标方程；消去直线参数方程中的参数，求得直线的普通方程.

    （2）求得点的直角坐标，由此求得点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线距离的最大值.

    （1）由得，即.

    由消去得.

    （2）令，则，所以，对应的直角坐标为，即.依题意，所以，点到直线的距离为

    ，从而最大值为.

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    【题目】某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发人工智能产品，为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：

    试销单价（百元）

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    产品销量（件）

    91

    86

    78

    73

    70

    附：参考公式：，，

    参考数据：，，.

    （1）求的值；

    （2）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；

    （3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.

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    （1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；

    （2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.

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    【题目】(本小题满分12分)

    已知函数（其中a是实数）．

    （1）求的单调区间；

    （2）若设，且有两个极值点 ，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．

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    【题目】已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）

    A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

    B.展开式中第6项的系数最大

    C.展开式中存在常数项

    D.展开式中含项的系数为45

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    【题目】过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则( )

    A. B. C. D.

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    【题目】（本题满分12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

    （Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

    （Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

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    【题目】已知.

    （1）讨论函数的单调性；

    （2）证明：.

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