Question

12．已知函数f（x）的值域为[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，求函数y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的值域
有一位同学给出了如下解答，你认为正确吗？为什么？如果不正确，请你给出正确的解答过程
解；因为f（x）的值域是[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，即$\frac{3}{8}$≤f（x）≤$\frac{4}{9}$，所以$\frac{1}{9}$≤1-2f（x）≤$\frac{1}{4}$，所以$\frac{1}{3}$≤$\sqrt{1-2f（x）}$≤$\frac{1}{2}$，所以$\frac{17}{24}$≤f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$≤$\frac{17}{18}$，所以y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的值域为[$\frac{17}{24}$，$\frac{17}{18}$]．

Answer 1

分析 可以看出$\frac{3}{8}≤f（x）≤\frac{4}{9}$和不等式$\frac{1}{3}≤\sqrt{1-2f（x）}≤\frac{1}{2}$不能同时取等号，从而这两个不等式不能相加，从而这种解法不正确，现在看一下如何正确求解：原函数里含着根号，从而可考虑换元，令$\sqrt{1-2f（x）}=t$，这时要确定t的范围，显然需根据f（x）的范围来确定，求出t的范围后，再求出f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，带入原函数便得到关于t的二次函数，根据t的范围求该二次函数的值域即可．

解答 解：这位同学的解答不正确．
因为不等式$\frac{3}{8}≤f（x）≤\frac{4}{9}$和$\frac{1}{3}≤\sqrt{1-2f（x）}≤\frac{1}{2}$的等号不能同时取到，从而两不等式相加后等号不等取到，解法如下：
令$\sqrt{1-2f（x）}=t$，∵$\frac{3}{8}≤f（x）≤\frac{4}{9}$，∴$\frac{1}{9}≤1-2f（x）≤\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{3}≤\sqrt{1-2f（x）}≤\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{3}≤t≤\frac{1}{2}$，且f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t=-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$，该函数在$t∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上单调递增，设y=f（t），则：
$f（\frac{1}{3}）≤f（t）≤f（\frac{1}{2}）$；
∴$\frac{7}{9}≤f（t）≤\frac{7}{8}$；
∴原函数的值域为[$\frac{7}{9}，\frac{7}{8}$]．

点评 考查函数值域的概念，函数解析式中含根号时，可考虑换元去掉根号，注意要确定换元后的变量的取值范围，以及根据二次函数的单调性求二次函数值域的方法．