Question

【题目】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD．

（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值；

（2）求二面角A－DF－B的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线DF与BE所成角的余弦值.(2)利用向量法求二面角A－DF－B的大小.

详解：⑴以{ }为正交基底，建立如图空间直角坐标系C－xyz，

则D(，0，0)，F(，，1)，E(0，0，1)，B(0，，0)，C(0，0，0)，

所以＝(0，，1)，＝(0，–，1)，

从而cos<， >＝．

所以直线DF与BE所成角的余弦值为．

(2)平面ADF的法向量为＝ (，0，0).

设面BDF的法向量为 = (x，y，z)．又＝(，0，1)．

由 ＝0，＝0，

得y＋z＝0， x＋z＝0

取x＝1，则y＝1，z＝–，所以= (1，1，－)，

所以cos<>＝．

又因为<>∈[0，]，所以<>＝．

所以二面角A – DF – B的大小为．