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已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为3,f(x)的图象在y轴上的截距为2,其相邻两对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=
 
分析:先将原函数用降幂公式转化为:f(x)=
A
2
cos(2ωx+2?)+
A
2
+1,求出函数的A,T,ω,通过f(x)的图象在y轴上的截距为2,求出φ,得到函数的表达式,然后求出所求的值.
解答:解:将原函数f(x)=Acos2(ωx+?)+1转化为:f(x)=
A
2
cos(2ωx+2?)+
A
2
+1
相邻两对称轴间的距离为2可知周期为:4,则2ω=
4
=
π
2
,ω=
π
4

由最大值为3,可知A=2
又∵图象经过点(0,2),
∴cos2?=0
∴2∅=kπ+
π
2

∴f(x)=cos(
π
2
x+kπ+
π
2
)+2=2±sin(
π
2
x)
∵f(1)=2+1,f(2)=0+2,f(3)=-1+2,f(4)=0+2…
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=502×8+5=4021
或f(1)=2-1,f(2)=0+2,f(3)=1+2,f(4)=0+2…
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=502×8+3=4019
故答案为:4021或4019
点评:本题是基础题,考查三角函数的表达式的求法,函数的值的求法,考查计算能力.
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x
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1
2
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1
4
)
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