Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．
（Ⅰ）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角

专题：空间角,空间向量及应用

分析：对第（Ⅰ）问，以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题设得到向量

PD

与

BC

的坐标，再利用公式cosθ=

m • n

| m || n |

求解；
对第（Ⅱ）问，先设法求得平面PAB与平面ABC的法向量

m

，

n

，再利用公式cosθ=

m • n

| m || n |

，探求二面角P-AB-C的大小．

解答： 解：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．
又PB⊥PD，BO=2，PO=

2

，
由平面几何知识，得OD=OC=1，BO=AO=2．
以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如右图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标分别为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），
C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，

2

）．
（I）由上易知

PD

=(0，-1，-

2

)，

BC

=(-1，-2，0)，
∴

|PD|

=

3

，

|BC|

=

5

，

PD

•

BC

=2，
∴cos＜

PD

，

BC

＞=

PD • BC

|PD| |BC|

=

2 15

15

，
故直线PD与BC所成的角的余弦值为

2 15

15

．
（Ⅱ）设平面PAB的一个法向量为

n

=（x，y，z），
由（I）得

AB

=(-2，2，0)，

AP

=(-2，0，

2

)，
又由

n • AB =0 n • AP =0

得

x= y z= 2 x

．
令x=1，得

n

=(1，1，

2

)，从而|

n

|=2．
由图可知，平面ABC的一个法向量为

m

=(0，0，1)，从而|

m

|=1．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

2

．
显然二面角P-AB-C为锐角，∴所求二面角P-AB-C的大小为45°．

点评：1、本题主要考查了利用空间向量法解决空间角问题，前提是建立适当的空间直角坐标系，标出各点的坐标，关键是利用公式cosθ=

m • n

| m || n |

求解．
2、把握好角的范围
（1）两异面直线所成角的范围是(0，

π

2

]；
（2）二面角大小的范围是[0，2π]．常根据原几何体中二面角两半平面的张开程度，或者两法向量在坐标系中的大致指向来确定所求二面角与两半平面法向量夹角的关系．