Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$acosB=\frac{C}{2}，|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=|{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}}|$，则△ABC为（　　）

• A． 等边三角形
• B． 等腰直角三角形
• C． 锐角三角形
• D． 钝角三角形

Answer 1

分析 设AB的中点为D，由余弦定理、向量知识推导出a=b，CD=AD=BD，由此能求出△ABC为等腰直角三角形．

解答 解：设AB的中点为D，
∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
$acosB=\frac{c}{2}，|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=|{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}}|$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{c}{2}}\\{CD=\frac{1}{2}AB}\end{array}\right.$，
整理，得a=b，CD=AD=BD，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故选：B．

点评 本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理、向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．