Question

4．已知对?x∈（0，+∞），不等式2ax＞e^x-1恒成立，则实数a的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据不等式恒成立，进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的最值即可．

解答 解：对?x∈（0，+∞），不等式2ax＞e^x-1恒成立，
则2a＞$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
设f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
则f′（x）=$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
设g（x）=xe^x-e^x+1，
当x＞0时，g′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe^x＞0，
即函数g（x）=xe^x-e^x+1在（0，+∞）上为增函数，
则g（x）＞g（0）=0，则f′（x）＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵$\underset{lim}{x→0}$f（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$e^x=e⁰=1，
∴f（x）＞1，则要使2a＞$\frac{{e}^{x}-1}{x}$恒成立，
则2a≥1，即a≥$\frac{1}{2}$
则a的最小值是$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考不等式恒成立问题，利用参数转化法，利用构造法构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．