Question

设函数y=f（x），x∈R，x≠0
（1）若a＞0且a≠1，f（log_ax）=x-

1

x

，求f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性．
（2）若f（x）=x+

1

x

，判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法即可求f（x）的解析式，根据函数奇偶性的定义即可并判断f（x）的奇偶性．
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．

解答： 解：（1）令t=log_ax，则x=a^t，t∈R，
则函数等价为f（t）=a^t-a^-t，
即f（x）=a^x-a^-x，
则f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
证明：设1＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

-x₁=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）•

x1x2-1

x1x2

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
则f（x₂）＞f（x₁）．
故函数在（1，+∞）单调增；
设设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₂）-f（x₁）=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

-x₁=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）•

x1x2-1

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
则f（x₂）＜f（x₁）．
故函数在（0，1）单调递减；

点评：本题主要考查函数奇偶性，单调性的判断和证明，综合考查函数的性质．