Question

已知函数f（x）=msinx+ncosx，且f（

π

6

）是它的最大值，（其中m、n为常数且mn≠0）给出下列命题：①f（x+

π

3

）是偶函数；②函数f（x）的图象关于点（

8π

3

，0）对称；③f（-

3π

2

）是函数f（x）的最小值；④

m

n

=

3

3

．
其中真命题有（　　）

• A、①②③④
• B、②③
• C、①②④
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：综合题,简易逻辑

分析：先化简函数，利用f（

π

6

）是它的最大值，求出φ=2kπ+

π

3

，再对选项进行判断，即可得出结论．

解答： 解：由于函数f（x）=msinx+ncosx=

m2+n2

sin（x+φ），且f（

π

6

）是它的最大值，
∴

π

6

+φ=2kπ+

1

2

π，k∈z，
∴φ=2kπ+

π

3

，∴tanφ=

n

m

=

3

，
∴

m

n

=

3

3

，即④正确．
∵f（x）=

m2+n2

sin（x+

π

3

 ）
对于①，由于 f（x+

π

3

）=

m2+n2

sin（x+

2

3

π ），不是偶函数，故①不正确．
对于②，由于当x=

8π

3

时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点（

8π

3

，0）对称，故②正确．
对于③，由于 f（-

3π

2

）=

m2+n2

sin（-

5

6

π），不是函数f（x）的最小值，故③不正确．
故选：D．

点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，辅助角公式的应用，是解题的关键．