Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=a_n+p•3ⁿ+1，n∈N^*，p为常数a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（1）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}，b_n=

n2

an-n

，求{b_n}的最大项．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性,等差数列的性质

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系，结合等差数列的关系即可求p的值及数列|a_n|的通项公式；
（2）根据条件求出数列{b_n}的通项公式，结合数列的特点即可得到结论．

解答： 解：（1）解：因为a₁=4，a_n+1=a_n+p•3ⁿ+1，
所以a₂=a₁+p•3+1=3p+5，a₃=a₂+p•3²+1=12p+6．
因为a₁，a₂+6，a₃成等差数列，所以2（a₂+6）=a₁+a₃，
即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．
依题意，a_n+1=a_n+2•3ⁿ+1，
所以当n≥1时，a_n+1-a_n=2•3ⁿ+1，
则a₂-a₁=2•3¹+1，
a₃-a₂=2•3²+1，
…
a_n-a_n-1=2•3^n-1+1，
相加得a_n-a₁=2•（3+3²+3³+…+3^n-13）+n-1=2×

3(1-3n-1)

1-3

+n-1，
所以a_n=3ⁿ+n，
当n=1时，a₁=3+1=4也成立，
所以a_n=3ⁿ+n．
（2）证明：因为a_n=3ⁿ+n，所以b_n=

n2

an-n

=

n2

3n+n-n

=

n2

3n

．
因为b_n+1-b_n=

(n+1)2

3n+1

-

n2

3n

=

-2n2+2n+1

3n+1

，
若b_n+1-b_n＜0得-2n²+2n+1＜0，
解得n＞

1+ 3

2

，
即当n≥2时，b_n+1＜b_n．
又因为b₁=

1

3

，b₂=

4

9

，所以b_n≤

4

9

．
故{b_n}的最大项为b₂=

4

9

．

点评：本题主要考查数列递推关系的应用，结合等差数列的性质是解决本题的关键．综合性较强．