Question

在△ABC中，A，B，C是三角形内角，且∠B=60°，a+c=4，求b的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：利用正弦定理将b用角A或C的三角函数表示出来，将问题转化为三角函数的最值问题来解．

解答： 解：由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

，
所以

b

sinB

=

a+c

sinA+sinC

，因为a+c=4，B=60°．
所以b=2

3

(sinA+sinC)．
因为A+C=

2π

3

，
所以b=2

3

(sinA+sin(

2π

3

-A))．
化简得b=2

3

×(

3

2

sinA+

3

2

cosA)=6sin(A+

π

6

)．
又因为0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

．
所以

1

2

=sin

π

6

＜sin(A+

π

6

)≤1，
故b的范围是（3，6]．

点评：本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，要体会边角互化，化归思想在解题中的应用．