Question

11．已知函数f（x）=lnx-ax在x=2处的切线l与直线x+2y-3=0平行．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+m=2x-x²在$[\frac{1}{2}，2]$上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）记函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，若b≥$\frac{3}{2}$，且g（x₁）-g（x₂）≥k恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值；
（2）将f（x）+m=2x-x²在$[\frac{1}{2}，2]$上恰有两个不相等的实数根，进行转化，利用参数分离法，构造函数的导数，利用导数求出函数的极值即可，求实数m的取值范围；
（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-a$…（2分）
∵函数在x=2处的切线l与直线x+2y-3=0平行，
∴$k=\frac{1}{2}-a=-\frac{1}{2}$，
解得a=1；                                      …（4分）
（2）由（1）得f（x）=lnx-x，
∴f（x）+m=2x-x²，即x²-3x+lnx+m=0，
设h（x）=x²-3x+lnx+m，（x＞0）
则h′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令h′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=1，列表得：

x	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，1）	1	（1，2）	2
h′（x）	0	-	0	+
h（x）	极大值		极小值		m-2+ln2

∴当x=1时，h（x）的极小值为h（1）=m-2，
又h（$\frac{1}{2}$）=m-$\frac{5}{4}-ln2$，h（2）=m-2+ln2，…（7分）
∵方程f（x）+m=2x-x²在$[\frac{1}{2}，2]$上恰有两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（\frac{1}{2}）≥0}\\{h（1）＜0}\\{h（2）≥2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m-\frac{5}{4}-ln2≥0}\\{m-2＜0}\\{m-2+ln2≥0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{5}{4}+ln2$≤m＜2；（也可分离变量解） …（10分）
（3）∵g（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}-（b+1）x$，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}+x-（b+1）=\frac{{x}^{2}-（b+1）x+1}{x}$，
由g′（x）=0得x²-（b+1）x+1=0
∴x₁+x₂=b+1，x₁x₂=1，
∴${x_2}=\frac{1}{x_1}$，
∵$b≥\frac{3}{2}$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+\frac{1}{x_1}≥\frac{5}{2}}\\{0＜{x_1}＜\frac{1}{x_1}}\end{array}}\right.$
解得：$0＜{x_1}≤\frac{1}{2}$…（12分）
∴g（x₁）-g（x₂）=$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{1}{2}（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）-（b+1）（{x}_{1}-{x}_{2}）$=$2ln{x_1}-\frac{1}{2}（{x_1}^2-\frac{1}{{{x_1}^2}}）$，
设$F（x）=2lnx-\frac{1}{2}（{x^2}-\frac{1}{x^2}）（0＜x≤\frac{1}{2}）$，
则$F'（x）=\frac{2}{x}-x-\frac{1}{x^3}=\frac{{-{{（{x^2}-1）}^2}}}{x^3}＜0$
∴F（x）在$（0，\frac{1}{2}]$上单调递减； …（14分）
∴当${x_1}=\frac{1}{2}$时，$F{（x）_{min}}=F（\frac{1}{2}）=\frac{15}{8}-2ln2$，
∴k≤$\frac{15}{8}-2ln2$，
∴k的最大值为$\frac{15}{8}-2ln2$．…（16分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用函数的极值，最值和导数之间是关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．