Question

8．已知函数f（x）=e^x-e^-x-cx（c∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）有极值，求实数c的取值范围；
（2）若c=$\frac{10}{3}$，讨论方程f（x）=m的根的个数．

Answer 1

分析 （1）根据级别不等式的性质求出c的范围即可；（2）求出f（x）的导数，求出其极大值和极小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x+e^-x-c，
若函数f（x）有极值，
则f（x）=0有解，
只需c≥e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}{•e}^{-x}}$=2，
故c的范围是[2，+∞）；
（2）若c=$\frac{10}{3}$，则f（x）=e^x-e^-x-$\frac{10}{3}$x，
f′（x）=e^x+e^-x-$\frac{10}{3}$，
令f′（x）＞0解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）_极小值=f（1）=e-$\frac{1}{e}$-$\frac{10}{3}$＜0，
f（x）_极大值=f（-1）=$\frac{1}{e}$-e+$\frac{10}{3}$＞0，
m＞f（-1）时，方程有1个根，
m=f（-1）时，方程有2个根，
f（1）＜m＜f（-1）时，方程有4个根，
m=f（1）时，方程有2个根，
m＜f（1）时，方程有1个根．

点评 本题考查了级别不等式的性质，考查导数的应用，函数的单调性问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．