Question

3．设y=e${\;}^{1-{x}^{2}}$与x=-1的交点为P．则过P点的切线方程为y=2x+3．

Answer 1

分析 求得P（-1，1），设出切点为（m，${e}^{1-{m}^{2}}$），求得切线的斜率和切线的方程，代入（-1，1），解方程可得m，进而得到所求切线的方程．

解答 解：将x=-1代入函数的解析式可得y=1，即P（-1，1），
设出切点为（m，${e}^{1-{m}^{2}}$），
由y=e${\;}^{1-{x}^{2}}$的导数为y′=-2x•e${\;}^{1-{x}^{2}}$，
可得切线的斜率为k=-2m•${e}^{1-{m}^{2}}$，
即有切线的方程为y-${e}^{1-{m}^{2}}$=-2m•${e}^{1-{m}^{2}}$（x-m），
代入点（-1，1），可得（1+2m+2m²）•${e}^{1-{m}^{2}}$=1，
由g（m）=（1+2m+2m²）•${e}^{1-{m}^{2}}$，可得g′（m）=2（m+1）（1-2m²）•${e}^{1-{m}^{2}}$，
可得m=-1或±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由m=-1时，取得极值1，且唯一．
则所求切线的方程为y-1=2（x+1），
则切线的方程为y=2x+3．
故答案为：y=2x+3．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键．