Question

13．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=-{a_n}-{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+2$，b_n=2ⁿa_n，c_n=2a_n+1-a_n（n∈N^*）则（　　）

• A． {b_n}是等差数列，{c_n}是等比数列
• B． {b_n}是等比数列，{c_n}是等差数列
• C． {b_n}是等差数列，{c_n}是等差数列
• D． {b_n}是等比数列，{c_n}是等比数列

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和${S_n}=-{a_n}-{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+2$，a₁=-a₁-1+2，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，再利用等差数列与等比数列的定义及其通项公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和${S_n}=-{a_n}-{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+2$，
∴a₁=-a₁-1+2，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+2-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}+2]$，
化为：${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+（\frac{1}{2}）^{n}$，
变形为：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，
又b_n=2ⁿa_n，
∴b_n-b_n-1=1，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
另一方面：由${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+（\frac{1}{2}）^{n}$，
可得2a_n-a_n-1=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
又c_n=2a_n+1-a_n（n∈N^*），则c_n=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴数列{c_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．