Question

函数f（x）=x²-2x+3在[0，a+2]上最大值为3，则a的取值范围

 

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Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：

分析：当0＜a+2＜2 时，利用二次函数的性质可得函数在[0，a+2]上的最大值为f（0）=3，满足条件，由此可得a的范围．当a+2≥2时，根据函数在[0，a+2]上的最大值为f（a+2）=a²+2a+3=3，求得a的值，再把这2个a的范围取并集，即得所求．

解答： 解：二次函数f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，当0＜a+2＜2，即-2＜a＜0时，
函数在[0，a+2]上的最大值为f（0）=3，满足条件．
当a+2≥2，即a≥0时，根据函数在[0，a+2]上的最大值为f（a+2）=a²+2a+3=3，求得a=0，或 a=-2（舍去）．
综上可得，-2＜a≤0，
故答案为：（-2，0]．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．