Question

一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的4

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，杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r最大取

 

时，才能使玻璃球触及杯底．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设小球圆心（0，y₀） 抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方 的表达式，进而根据若r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底需1-y₀≥0 进而求得r的范围，即可得出结论．

解答： 解：由题可知抛物线的方程为x²=2y（0≤y≤20），
设小球的截面圆心为（0，y₀），抛物线上点M（x，y）
点M到圆心距离平方
r²=x²+（y-y₀）²=2y+（y-y₀）²=Y²+2（1-y₀）y+y₀²
若r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，所以1-y₀≥0
所以0＜y₀≤1，
所以0＜r≤1，
故当玻璃球的半径r最大取1时，才能使玻璃球触及杯底．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．