Question

4．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最小值是-2，其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（α）=$\frac{8}{5}$，f（β）=$\frac{24}{13}$，求f（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可求A，由$f（\frac{π}{3}）=1$，可得$sin（\frac{π}{3}+φ）=\frac{1}{2}$，结合范围0＜φ＜π，可求φ，进而可得f（x）的解析式；
（2）由（1）知f（x）=2cosx，由已知可得$cosα=\frac{4}{5}，cosβ=\frac{12}{13}$，利用同角三角函数基本关系式及范围α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），可求sinα，sinβ，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）因为f（x） 的最小值是-2，
所以A=2．
又由f（x） 的图象经过点$M（\frac{π}{3}，1）$，
可得$f（\frac{π}{3}）=1$，$sin（\frac{π}{3}+φ）=\frac{1}{2}$，
所以$φ+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{6}$ 或$φ+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{5π}{6}$，又$0＜φ＜\pi$，
所以$φ=\frac{π}{2}$，
故$f（x）=2sin（x+\frac{π}{2}）$，即f（x）=2cosx．
（2）由（1）知f（x）=2cosx，
又$f（α）=\frac{8}{5}$，$f（β）=\frac{24}{13}$，
故$2cosα=\frac{8}{5}，2cosβ=\frac{24}{13}$，
即$cosα=\frac{4}{5}，cosβ=\frac{12}{13}$，
又因为$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，
所以$sinα=\frac{3}{5}，sinβ=\frac{5}{13}$，
所以f（α-β）=2cos（α-β）=2（cosαcosβ+sinαsinβ）=$2（\frac{4}{5}×\frac{12}{13}+\frac{3}{5}×\frac{5}{13}）=\frac{126}{65}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于中档题．