Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），设f（x）=2

a

•

b

+m+1（m∈R）；
（Ⅰ）求函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

6

]时，-4＜f（x-

π

6

）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：导数的综合应用,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）先根据条件求出

a

•

b

，然后求出f（x），f′（x），根据f′（x）的符号，寻找f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
（Ⅱ）根据f（x-

π

6

）在[0，

π

6

]上导数的符号，从而判断f（x-

π

6

）的单调性，从而求出该函数在[0，

π

6

]上的取值范围，根据当x∈[0，

π

6

]时，-4＜f（x-

π

6

）＜4恒成立，变得出对m限制的式子从而求出m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）

a

•

b

=cos

3

2

x•cos

1

2

x-sin

3

2

x•sin

x

2

=cos(

3

2

x+

1

2

x)=cos2x；
∴f（x）=2cos2x+m+1，∴f′（x）=-4sin2x；
x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]；
∴2x∈[0，π]，即x∈[0，

π

2

]时，f′（x）＜0；
∴函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递减区间是[0，

π

2

]．
（Ⅱ）x∈[0，

π

6

]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，0]，∴2(x-

π

6

)∈[-

π

3

，0]，∴f′（x-

π

6

）＞0；
∴函数f（x-

π

6

）在[0，

π

6

]上单调递增，∴f(0-

π

6

)≤f(x-

π

6

)≤f(

π

6

-

π

6

)；
∴2+m≤f（x-

π

6

）≤3+m；
又x∈[0，

π

6

]时，-4＜f（x-

π

6

）＜4恒成立；
∴

2+m＞-4 3+m＜4

，解得-6＜m＜1；
实数m的取值范围是（-6，1）．

点评：熟练掌握两角和的余弦公式，数量积的坐标运算公式，以及求导数判断函数的单调区间的方法．对于第二问的解决思路是判断函数f（x-

π

6

）在[0，

π

6

]的单调性，根据单调性求f（x-

π

6

）的取值范围，再一个需注意的是：在得到f（x-

π

6

）的取值范围之后应该如何限制m的取值．