Question

已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l₁：x=-2的距离为d₁，到点F（-1，0）的距离为d₂，且

d   2

d1

=

2

2

．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；
（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），得

d2

d1

=

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由已知条件得k_BF=-1，BF：y=-1（x+1）=-x-1，代入

x2

2

+y2=1，得：3x²+4x=0，由此能求出直线l方程．
（3）B关于x轴的对称点B₁在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，得：(k2+

1

2

)x2+2k2x+k2-1=0，由此能证明直线l总经过定点M（-2，0）．

解答： （1）解：设P（x，y），则d1=|x+2|，d2=

(x+1)2+y2

，…（2分）

d2

d1

=

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，
化简得：

x2

2

+y2=1，
∴椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）解：∵A（0，1），F（-1，0），
∴kAF=

1-0

0-(-1)

=1，∠OFA+∠OFB=180°，
∴k_BF=-1，BF：y=-1（x+1）=-x-1…（6分）
代入

x2

2

+y2=1，得：3x²+4x=0，
∴x=0，或x=-

4

3

，代入y=-x-1得

x=0 y=-1

(舍)，或

x=- 4 3 y= 1 3

，
∴B(-

4

3

，

1

3

)…（8分）
kAB=

1- 1 3

0-(- 4 3 )

=

1

2

，∴AB：y=

1

2

x+1，…（10分）
（3）证明：由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B₁在直线AF上．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₂，-y₂）
设直线AF方程：y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，
得：(k2+

1

2

)x2+2k2x+k2-1=0，…（13分）
x1+x2=-

2k2

k2+ 1 2

，x1x2=

k2-1

k2+ 1 2

kAB=

y1-y2

x1-x2

，AB：y-y1=

y1-y2

x1-x2

(x-x1)，
令y=0，得：x=x1-y1

x1-x2

y1-y2

=

x2y1-x1y2

y1-y2

y₁
=k（x₁+1）-y₂
=k（x₂+1）x=

x2y1-x1y2

y1-y2

=

x2×k(x1+1)+x1×k(x2+1)

k(x1+1)+k(x2+1)

=

2x1x2+x1+x2

x1+x2+2

=

2× k2-1 k2+ 1 2 - 2k2 k2+ 1 2

2- 2k2 k2+ 1 2

=-2，…（15分）
∴直线l总经过定点M（-2，0）…（16分）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线总过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．