Question

已知函数f（x）=|x-m|，
（Ⅰ）求证：f（-x）+f（

1

x

）≥2；
（Ⅱ）若m=1且a+b+c=

2

7

时，f（log₂x）+f（2+log₂x）＞

a

+2

b

+3

c

对任意正数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）利用绝对值不等式的性质、基本不等式的性质即可得出；
（II）根据柯西不等式可得

a

+2

b

+3

c

≤2，因此f（log₂x）+f（2+log₂x）＞2，化为（log₂x-1）（log₂x+1）＞0，利用对数函数的单调性解出即可．

解答： （I）证明：f(-x)+f(

1

x

)=|-x-m|+|

1

x

-m|≥|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2；
（II）根据柯西不等式可得：（a+b+c）（1²+2²+3²）≥（

a

+2

b

+3

c

）²，
∴

a

+2

b

+3

c

≤2
∴f（log₂x）+f（2+log₂x）＞2，|log₂x-1|+|log₂x+1|＞2．
∴（log₂x-1）（log₂x+1）＞0，
解得log₂x＞1或log₂x＜-1．
∴x＞2或0＜x＜

1

2

．
∴x的取值范围是x＞2或0＜x＜

1

2

．

点评：本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、柯西不等式的应用、对数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．