Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，S是B₁D₁的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：
（1）直线EG∥平面BDD₁B₁；
（2）平面EFG∥平面BDD₁B₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结SB，由已知得EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD₁B₁．
（2）连结SD，由已知得FG∥SD，从而FG∥平面BDD₁B₁，又直线EG∥平面BDD₁B₁，由此能证明平面EFG∥平面BDD₁B₁．

解答： 证明：（1）如图，连结SB，
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB，
又SB?平面BDD₁B₁，EG不包含于平面BDD₁B₁，
∴直线EG∥平面BDD₁B₁．
（2）如图，连结SD，
∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，
又SD?平面BDD₁B₁，FG不包含于平面BDD₁B₁，
∴FG∥平面BDD₁B₁，
又直线EG∥平面BDD₁B₁，且直线EG?平面EFG，直线FG?平面EFG，
EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面BDD₁B₁．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．