Question

数列{a_n}各项均为正数，其n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a

2 n

=1．
（1）求证：数列{

S

2 n

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2

4S 4 n -1

，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使T_n＞

1

6

(m2-3m)对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用2a_nS_n-a

2 n

=1，再写一式，两式相减，即可证明数列{

S

2 n

}为等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，T_n＞

1

6

(m2-3m)对所有的n∈N^*都成立，转化为

2

3

＞

1

6

(m2-3m)，即可求出使T_n＞

1

6

(m2-3m)对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

解答： （1）证明：∵2a_nS_n-a

2 n

=1，∴当n≥2时，2（S_n-S_n-1）S_n-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，

S

2 n

-

S

2 n-1

=1（n≥2），（2分）又

S

2 1

=1，（3分）
∴数列{

S

2 n

}为首项和公差都是1的等差数列．              （4分）
∴

S

2 n

=n，又S_n＞0，∴Sn=

n

                       （5分）
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

，又a₁=S₁=1适合此式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

n

-

n-1

                 （7分）
（2）解：∵bn=

2

4S 4 n -1

=

1

2n-1

-

1

2n+1

     （8分）
∴T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

 （10分）
∴T_n≥

2

3

，
依题意有

2

3

＞

1

6

(m2-3m)，解得-1＜m＜4，
故所求最大正整数m的值为3   （12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．