Question

已知函数f（x）=xlnx与函数g（x）=x+

1

ax

（x＞0）均在x=x₀时取得最小值，设函数h（x）=f（x）-g（x），e为自然对数的底数．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：

1

e

是函数h（x）的一个极大值点；
（Ⅲ）证明：函数h（x）的所有极值点之和的范围是（

3

e

，

e+1

e

）．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先用导数由f（x）求出x₀，再分情况讨论g（x）的最小值及此时x值，由x₀=x即可求出a值；
（Ⅱ）利用导数与函数极值的关系可以证明，为判断h′（x）的符号，此题要对h′（x）再次求导；
（Ⅲ），先找出所有极值点，再求证即可．

解答： 解：（I）f′（x）=（xlnx）′=lnx+1，令f′（x）=0得x=

1

e

，列表：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	1	极小值- 1 e	Z

∴当x=

1

e

时，函数f（x）=xlnx取得最小值，∴x 0=

1

e

，
当a＜0时，g（x）是增函数，此时无最小值时，
当a＞0，函数g（x）=x+

1

ax

≥2

1 a

是最小值，取等号时，x₀=

1 a

，
由

1 a

=

1

e

，得a=e²．
（II）∵h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x-

1

e2x

，h′（x）=lnx+

1

e2x2

，
∴h″（x）=

e2x-2

e2x3

，h″（x）＜0?0＜x＜

2

e

∴所以h′（x）在（0，

2

e

）递减，在（

2

e

，+∞）递增，
∵h′（

1

e

）=，∴x∈（0，

1

e

）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
x∈（

1

e

，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递减，
∴

1

e

是函数h（x）的一个极大值点
（III）∵h′（x）=ln

2

e

+

1

2

=

1

2

（ln2-1）＜0，h′（1）=

1

e2

＞0，
∵h′（x）（

2

e

，+∞）递增，
∴在（

2

e

，1）存在唯一实数m，使得 h′（m）=0，
∵h′（x）在（

2

e

，+∞）递增，
∴x∈（

2

e

，m）时，h′（x）＞0，h（x）递减，
x∈（m，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
∴函数h（x）在（

2

e

，+∞）有唯一极小值点m，
∵h′(

2

e

)ln2-

3

4

＜0，
∴m∈（

2

e

，1），
由（II）知，h（x）在（0，

2

e

）有唯一极值点

1

e

，
∴函数h（x）的所有极值点之和

1

e

+m∈（

3

e

，

e+1

e

）．

点评：本题考查应用导数求函数的最值、极值，研究函数的单调性，考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力，难度较大．