Question

动圆E过点F（1，0），且与直线x=-1相切，圆心E的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点Q（4，2）的任意一条不过点P（4，4）的直线与曲线C交于A，B两点，直线AB与直线y=x+4交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问是否存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得曲线C是以A为焦点的抛物线，由此能求出曲线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设直线AB为y-2=k（x-4）．由

y-2=k(x-4) y=x+4

，得M（

4k+2

k-1

，

8k-2

k-1

）．k₃=

2k+1

3

．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y-2=k(x-4) y2=4x

，得k²x²-（8k²-4k+4）x+16k²-16k+4=0．由此能求出k₁+k₂=2k₃．

解答： 解：（Ⅰ）∵点E到A的距离与到直线x=-1的距离相等，
∴曲线C是以A为焦点的抛物线．
设为y²=2px，p＞0，则

p

2

=1，解得p=2，
故曲线C的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-2=k（x-4）．
由

y-2=k(x-4) y=x+4

，得M（

4k+2

k-1

，

8k-2

k-1

）．
∴k₃=

4- 8k-2 k-1

4- 4k+2 k-1

=

2k+1

3

．…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y-2=k(x-4) y2=4x

，
得k²x²-（8k²-4k+4）x+16k²-16k+4=0．
∴x1+x2=

8k2-4k+4

k2

，x1x2=

16k2-16k+4

k2

．…（8分）
∴k1+k2=

y1-4

x1-4

+

y2-4

x2-4

=

k(x1-4)-2

x1-4

+

k(x2-4)-2

x2-4

=2k-2（

1

x1-4

+

1

x2-4

）
=2k-

2(x1+x2-8)

x1x2-4(x1+x2)+16

=2k-

2( 8k2-4k+4 k2 -8)

16k2-16k+4 k2 -4• 8k2-4k+4 k2 +16

=

4k+2

3

．…（11分）
∴k₁+k₂=2k₃，即λ=2．…（13分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查是否存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃恒成立的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．