Question

【题目】某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为 ，半径为 ，不计厚度，单位：米），按计划容积为 立方米，且 ，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计 ），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米的费用为2千元，设该容器的建造费用为y千元.

（1）求y关于r的函数关系，并求其定义域；
（2）求建造费用最小时的 .

Answer 1

【答案】
（1）解：由容积为 立方米，得 ,解得 ,又圆柱的侧面积为 ，半球的表面积为 ，所以建造费用 ，定义域为 .

（2）解： ，又 ，所以 ，所以建造费用 ，在定义域 上单调递减，所以当r=3时建造费用最小.

【解析】(1)由该几何体的容积等于圆柱的体积加上半球的体积可求出h=≥2r解得r的取值范围，再利用该几何体的表面积等于圆柱的侧面积加上半球的表面积，进而得出建造费用的函数解析式。(2)根据题意对原函数求导，结合题意讨论导函数的正负即可得出原函数的单调性，进而得出建造费用的最小.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．