【题目】已知f(x)=e2x , g(x)=lnx+ ,对a∈R,b∈(0,+∞),使得f(a)=g(b),则b﹣a的最小值为 .
【答案】1+ ln2
【解析】解:∵f(x)=e2x , g(x)=lnx+ , ∴f﹣1(x)=
lnx,g﹣1(x)=
,
令h(x)=g﹣1(x)﹣f﹣1(x)= ﹣
lnx,
则b﹣a的最小值,即为h(x)的最小值,
∵h′(x)= ﹣
,
令h′(x)=0,解得x=
∵当x∈(0, )时,h′(x)<0,当x∈(
,+∞)时,h′(x)>0,
故当x= 时,h(x)取最小值1﹣
ln
=1+
ln2,
所以答案是:1+ ln2
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能正确解答此题.
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【题目】已知向量m (sin
,1),
=(1,
cos
),函数f(x)=
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若f(α﹣ )=
,求f(2α+
)的值.
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【题目】如图,四棱锥 的底面
为正方形,
⊥底面
,
分别是
的中点,
.
(Ⅰ)求证 ∥平面
;
(Ⅱ)求直线 与平面
所成的角;
(Ⅲ)求四棱锥 的外接球的体积.
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【题目】某化工厂拟建一个下部为圆柱,上部为半球的容器(如图圆柱高为 ,半径为
,不计厚度,单位:米),按计划容积为
立方米,且
,假设建造费用仅与表面积有关(圆柱底部不计 ),已知圆柱部分每平方米的费用为2千元,半球部分每平方米的费用为2千元,设该容器的建造费用为y千元.
(1)求y关于r的函数关系,并求其定义域;
(2)求建造费用最小时的 .
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣alnx+x(a∈R)
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的单调性.
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【题目】若的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)将的图象向左平移
个单位长度得到
的图象,若
图象的一个对称轴为
,求
的最小值;
(3)在第(2)问的前提下,求函数在
上的单调区间.
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【题目】设f(x)=|ax﹣1|.
(Ⅰ)若f(x)≤2的解集为[﹣6,2],求实数a的值;
(Ⅱ)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)﹣f(x﹣1)≤7﹣3m成立,求实数m的取值范围.
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