Question

4．定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），满足f′（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f′（x₂）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）=x³-x²是区间[0，a]上的双中值函数，则实数a的取值范围是$（{\frac{1}{2}，1}）$．

Answer 1

分析 根据题目给出的定义得到${f}^{'}（{x}_{1}）={f}^{'}（{x}_{2}）=\frac{f（a）-f（0）}{a}={a}^{2}-a$，即方程3x²-2x=a²-a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质能求出a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x³-x²，∴f′（x）=3x²-2x，
∵函数f（x）=x³-x²是区间[0，a]上的双中值函数，
∴区间[0，a]上存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
满足${f}^{'}（{x}_{1}）={f}^{'}（{x}_{2}）=\frac{f（a）-f（0）}{a}={a}^{2}-a$，
∴方程3x²-2x=a²-a在区间（0，a）有两个不相等的解，
令g（x）=3x²-2x-a²+a，（0＜x＜a），
则$\left\{\begin{array}{l}{△=4-12（-{a}^{2}+a）＞0}\\{g（0）=-{a}^{2}+a＞0}\\{g（a）=2{a}^{2}-a＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$，
∴实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}，1$）．
故答案为：（$\frac{1}{2}，1$）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．