Question

9．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程2ρcosθ+ρsinθ-6=0．
（1）写出曲线C的普通方程，直线l的直角坐标方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程消去参数能求出曲线C的普通方程，由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程．
（2）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ），P到直线l的距离为d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4cosθ+3sinθ-6|，则|PA|=$\frac{d}{sin30°}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|5sin（θ+α）-6|，由此能求出|PA|的最大值与最小值．

解答 解：（1）∵曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∵直线l的极坐标方程2ρcosθ+ρsinθ-6=0，
∴直线l的直角坐标方程为2x+y-6=0．
（2）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ），
P到直线l的距离为d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4cosθ+3sinθ-6|，
则|PA|=$\frac{d}{sin30°}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|5sin（θ+α）-6|，其中α为锐角，
当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为$\frac{22\sqrt{5}}{5}$．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查曲线的普通方程、直线的直角坐标方程的求法，考查弦长的最大值和最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．