Question

7．在△ABC中，已知b=3cm、c=2cm，A=60°；
（1）求a的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）求sin2C的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，代入题中数据直接加以计算，即可得到本题答案．
（2）利用三角形面积公式即可计算得解．
（3）利用正弦定理可求sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，进而根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵在△ABC中，b=3cm、c=2cm，A=60°，
∴由余弦定理，得：a²=b²+c²-2bccosA=9+4-2×3×2×$\frac{1}{2}$=7，
∴解之得a=$\sqrt{7}$．
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×3×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（3）∵c=2cm，A=60°，a=$\sqrt{7}$，
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴由c＜b，可得C为锐角，可得cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴sin2C=2sinCcosC=2×$\frac{\sqrt{21}}{7}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．