Question

16．已知函数f（x）=x-lnx+m，若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程为x-2y-2ln2=0．
（1）求m的值；
（2）若对于任意x∈（0，1]，总有f（x）≥a（x-1）²，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（2），求出切线方程即可；
（2）设g（x）=f（x）-a（x-1）²，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可，从而确定a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，则f′（2）=$\frac{1}{2}$，又因为切点为（2，2-ln2+m），
所以切线方程为y-（2-ln2+m）=$\frac{1}{2}$（x-2），
即：x-2y-2ln2+2+2m=0，
所以2+2m=0，即m=-1．
（2）设g（x）=f（x）-a（x-1）²，则g（x）≥0在x∈（0，1]上恒成立，
g′（x）=1-$\frac{1}{x}$-2ax+2a，
若a=0，则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$≤0在（0，1]上恒成立，g（x）在（0，1]上单调递减，
g（x）_min=g（1）=0，所以g（x）≥0符合题意．
若a≠0，则g′（x）=$\frac{-2{ax}^{2}+（2a+1）x-1}{x}$，
令g′（x）=0，得x=1或x=$\frac{1}{2a}$，
若a＜0则$\frac{1}{2a}$＜0，则g′（x）≤0，在（0，1]上恒成立，
g（x）在（0，1]上单调递减，
g（x）_min=g（1）=0，所以g（x）≥0符合题意．
若a＞$\frac{1}{2}$，则0＜$\frac{1}{2a}$＜1，
当x∈（0，$\frac{1}{2a}$）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（$\frac{1}{2a}$，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
这时g（x）_min=g（$\frac{1}{2a}$）＜g（1）=0，不符合题意．
若0＜a≤$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2a}$≥1，则g′（x）≤0在（0，1]上恒成立，g（x）在（0，1]上单调递减，
g（x）_min=g（1）=0，所以g（x）≥0符合题意．综上所述：a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．