Question

19．已知$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共线，$\overrightarrow{AP}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$））（λ∈R），则点P的轨迹一定过△ABC的（　　）

• A． 重心
• B． 内心
• C． 外心
• D． 垂心

Answer 1

分析 在△ABC中，分别以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，则$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，从而$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}$，进而P一定在△ABC的BC边的中线上，由此得到点P的轨迹一定过△ABC的重心．

解答 解：在△ABC中，分别以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，
连结AD、BC，由AD与BC互相平分，
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，
∵$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共线，$\overrightarrow{AP}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$））（λ∈R），
∴$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}$，∴P一定在△ABC的BC边的中线上，
∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．
故选：A．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．