Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；      
（2）记bn=2an+n，求数列{b_n}的前n和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）先利用韦达定理求出a₃=5，a₅=9，再利用等差数列的通项公式求出公差和首项，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由题意知bn=2an+n=22n-1+n，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n和S_n．

解答： 解 （1）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，
且数列{a_n}的公差d＞0，
解方程x²-14x+45=0，得x₁=5，x₂=9，
∴a₃=5，a₅=9，┅（2分）
∴

a1+2d=5 a1+4d=9

，解得

a1=1 d=2

┅（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1┅（6分）
（2）∵a_n=2n-1，
∴bn=2an+n=22n-1+n┅（8分）
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=(2a1+2a2+2a3+…+2an)+(1+2+3+…+n)┅（9分）
∵2a1+2a2+2a3+…+2an=21+23+25+…+22n-1=

2(1-4n)

1-4

=

2(4n-1)

3

┅（11分）1+2+3+…+n=

n(1+n)

2

┅（13分）
∴数列{b_n}的前n项和：
Sn=

2(4n-1)

3

+

n(n+1)

2

┅（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用．