Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有Sn=

1-an

2

；数列{b_n}满足b_n=（2n-7）a_n
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：-

55

27

≤Tn≤-

5

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由Sn=

1-an

2

，推导出an=sn-sn-1=

1-an

2

-

1-an-1

2

，由此能求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和Tn=-2-

n-2

3n

，由此进行分类讨论，能证明-

55

27

≤Tn≤-

5

3

．

解答： 解：（1）∵Sn=

1-an

2

，
∴n=1时，a1=S1=

1-a1

2

∴a1=

1

3

…（1分）
n≥2时，Sn=

1-an

2

，Sn-1=

1-an-1

2

…（2分）
两式相减得：an=sn-sn-1=

1-an

2

-

1-an-1

2

，
∴

an

an-1

=

1

3

，…（3分）
∴{a_n}是以a1=

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列
∴an=

1

3n

…（4分）
∴bn=(2n-7)an=(2n-7)

1

3n

…（5分）
（2）Tn=

-5

3

+

-3

32

+

-1

33

+…+

2n-7

3n

…①

1

3

Tn=

-5

32

+

-3

33

+

-1

34

+…+

2n-7

3n+1

，②…（7分）
①-②得：

2

3

Tn=-

5

3

+2(

1

32

+

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

)-

2n-7

3n+1

…（8分）
=-

5

3

+2×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

2n-7

3n+1

=-

4

3

-

2n-4

3n+1

…（9分）
∴Tn=-2-

n-2

3n

…（10分）
∵Tn+1-Tn=-2-

n-1

3n+1

-(-2-

n-2

3n

)=

2n-5

3n+1

…（11分）
∴当n≤2时，

2n-5

3n+1

＜0，T_n+1＜T_n，即T₃＜T₂＜T₁
当n≥3时，T_n+1＞T_n，此时T_n＞T₃，
∴Tn≥T3=-

55

27

…（12分）
又当n≥3时，

n-2

3n

＞0，此时T_n＜-2
而-2=T2＜T1=-

5

3

，
∴Tn≤T1=-

5

3

…（13分）
∴-

55

27

≤Tn≤-

5

3

…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及应用，是中档题，解题时要注意错位相减法和分类讨论思想的合理运用．