Question

是否存在实数k，使得

x

3x+y

+

y

x+3y

≤k＜

2

z

+

1

1-3z

当xy＞0，0＜z＜

1

3

时恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：通过适当变形利用基本不等式即可得出．

解答： 解：∵0＜z＜

1

3

，∴1-3z＞0．
∴

2

z

+

1

1-3z

=(

6

3z

+

1

1-3z

)[3z+(1-3z)]
=7+

6(1-3z)

3z

+

3z

1-3z

≥7+2

6

，当且仅当z=

6

3( 6 +1)

时取等号．
令

y

x

=t，∵xy＞0，∴t＞0．
∴

x

3x+y

+

y

x+3y

=

1

3+ y x

+

1

3+ x y

=

1

3+t

+

1

1 t +3

=

1

3

+

1

3

×

8

3(t+ 1 t )+10

≤

1

3

+

1

3

×

8

3×2+10

=

1

2

．当且仅当t=1，即x=y时取等号．
∴k∈[

1

2

，7+2

6

)．

点评：本题考查了通过变形利用基本不等式的性质，属于难题．