Question

已知函数f（x）=e^x+ln（x+1）
（Ⅰ）求函数y=f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若a≤2，证明：当x≥0时，有f（x）≥ax+1．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求出函数y=f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≤2时，则2-a≥0，令g（x）=f（x）-ax-1，求导函数，则g′(x)=f′(x)-a=ex+

1

x+1

-a
令φ（x）=e^x-x-1，确定函数的单调性，求出函数的最小值，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x+ln（x+1），
∴f′(x)=ex+

1

x+1

，则f'（0）=2
又f（0）=e⁰+ln1=1
∴函数y=f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程为：y-f（0）=f'（0）x，
即函数y=f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x+1；         …（6分）
（Ⅱ）证明：当a≤2时，则2-a≥0…①
令g（x）=f（x）-ax-1，
则g′(x)=f′(x)-a=ex+

1

x+1

-a
令φ（x）=e^x-x-1（x∈R），则φ'（x）=e^x-1（x∈R），
由φ'（x）=0，得x=0
当x≤0时，e^x≤1，即e^x-1≤0；当x＞0时，e^x＞1，即e^x-1＞0
∴函数φ（x）=e^x-x-1在（-∞，0]为减函数，在（0，+∞）为增函数
∴φ（x）_min=φ（0）=0，即φ（x）≥0
∴对?x∈R，都有e^x≥x+1
故当x≥0时，x+1＞0，ex+

1

x+1

≥x+1+

1

x+1

≥2

(x+1)• 1 x+1

=2
∴ex+

1

x+1

-a≥2-a≥0，
∴g'（x）≥0，
∴若a≤2，函数y=g（x），在[0，+∞）为增函数，
∴当x≥0时，g（x）≥g（0）=0
∴当a≤2时，x≥0，有f（x）≥ax+1成立．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，正确构造函数，利用函数的最值是关键．