Question

若一元二次方程mx²-（m+1）x+3=0的两个实根都小于2，求m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：解法一：根据一元二次方程mx²-（m+1）x+3=0的两个实根都小于2，可得 ①

△=(-m-1)2-12m≥0 m+1 2m ＜2 m＞0 4m-(m+1)2+3＞0

，或②

△=(-m-1)2-12m≥0 m+1 2m ＜2 m＜0 4m-(m+1)2+3＜0

，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
解法二：设f（x）=mx²-（m+1）x+3，则函数f（x）有2个小于2的零点，且函数图象的对称轴为x=

m+1

2m

．
故有 ①

m＞0 m+1 2m ＜2 f(  m+1 2m )≤0 f(2)＞0

，或②

m＜0 m+1 2m ＜2 f(  m+1 2m )≥0 f(2)＜0

．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：∵一元二次方程mx²-（m+1）x+3=0的两个实根都小于2，
∴①

△=(-m-1)2-12m≥0 m+1 2m ＜2 m＞0 4m-(m+1)2+3＞0

，或②

△=(-m-1)2-12m≥0 m+1 2m ＜2 m＜0 4m-(m+1)2+3＜0

．
解①求得 m≥5+2

6

，解②求得m＜-

1

2

，
故m的范围是[5+2

6

，+∞）∪（-∞，-

1

2

）．
解法二：设f（x）=mx²-（m+1）x+3，则函数f（x）有2个小于2的零点，
且函数图象的对称轴为x=

m+1

2m

．
故有 ①

m＞0 m+1 2m ＜2 f(  m+1 2m )≤0 f(2)＞0

，或②

m＜0 m+1 2m ＜2 f(  m+1 2m )≥0 f(2)＜0

．
解①求得 m≥5+2

6

，解②求得 m＜-

1

2

，
综上可得，m的范围是[5+2

6

，+∞）∪（-∞，-

1

2

）．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．