Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ，求使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

40

81

成立的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n=3ⁿ，推导出{

1

an

}是首项和公比均为

1

3

的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式能求出使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

40

81

成立的最小正整数n的值．

解答： 解：∵a_n=3ⁿ，
∴

1

a1

=

1

3

，

1 an

1 an-1

=

1

3

，
∴{

1

an

}是首项和公比均为

1

3

的等比数列，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)，
由

1

2

(1-

1

3n

)＞

40

81

，
解得n＞4，
∴使

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞

40

81

成立的最小正整数n的值是5．

点评：本题考查等比数列的前n项和公式的应用，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．