Question

设

OA

=（2sinx，cos2x），

OB

=（-cosx，1），其中x∈[0，

π

2

]．
（1）求f（x）=

OA

•

OB

的最大值和最小值；
（2）当

OA

⊥

OB

，求|

AB

|．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据 f（x）=

OA

•

OB

=-2sinxcosx+cos2x=-

2

sin（2x-

π

4

），x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最小值和最大值．
（2）当

OA

⊥

OB

时，由

OA

•

OB

=-

2

sin（2x-

π

4

）=0，可得2x=kπ+

π

4

，从而求得|

AB

|=

(-cosx-2sinx)2+(1-cos2x)2

=

7 2 - 7 2 cos2x+2sin2x+cos22x

的值．

解答： 解：（1）由于

OA

=（2sinx，cos2x），

OB

=（-cosx，1），其中x∈[0，

π

2

]．
∴f（x）=

OA

•

OB

=-2sinxcosx+cos2x=-sin2x+cos2x=-

2

sin（2x-

π

4

）．
根据 2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，故当2x-

π

4

=-

π

4

 时，函数f（x）取得最大值为1，
当2x+

π

4

=

π

2

时，函数取得最小值为-

2

．
（2）当

OA

⊥

OB

时，
∵

OA

•

OB

=-

2

sin（2x-

π

4

）=0，∴2x-

π

4

=kπ，k∈z，即 2x=kπ+

π

4

，
即 2x=2nπ+

π

4

，或 2x=2nπ+

3π

4

，n∈z．
∵

AB

=（-cosx-2sinx，1-cos2x），
∴|

AB

|=

(-cosx-2sinx)2+(1-cos2x)2

=

7 2 - 7 2 cos2x+2sin2x+cos22x

，
当 2x=2nπ+

π

4

，n∈z 时，cos2x=

2

2

，sin2x=

2

2

，|

AB

|=

4- 3 2 4

；
当2x=2n+

3π

4

，n∈z时，cos2x=-

2

2

，sin2x=

2

2

，|

AB

|=

4+ 11 2 4

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的定义域和值域，求向量的模，属于中档题．