Question

已知函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．
（1）证明：当 a＞2时，f（x）在 R上是增函数；
（2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，去掉绝对值，然后，将函数 f（x）写成分段函数的形式，针对x的取值情况，进行每一段上判断函数为增函数即可；
（2）则根据（1），当x≥-1，a+2＞0，当x＜-1，a-2＜0，f（-1）=-a＜0，求解a 的取值范围即可．

解答： 解：（1）由函数f（x）=2|x+1|+ax（x∈R），
得f(x)=

(a+2)x+2，  x≥-1 (a-2)x-2   ，x＜-1

，
当a＞2时，则a+2＞0，a-2＞0，
上述函数在每一段上都是增函数，
且它们在x=-1处的函数值相同，
∴当 a＞2时，f（x）在 R上是增函数；
（2）根据（1），若函数存在两个零点
则满足

a+2＞0 a-2＜0 f(-1)=-a＜0

，
解得0＜a＜2，
∴函数f（x）存在两个零点，a的取值范围为（0，2）．

点评：本题重点考查分段函数及其单调性的判断，函数零点的理解，属于难题．