)设为奇函数,为常数.
(1)求的值;
(2)判断在区间(1,+∞)内的单调性,并证明你的判断正确;
(3)若对于区间 [3,4]上的每一个的值,不等式>恒成立,求实数的取值范围.
(1)(2)在(1,+∞)上是增函数(3)
解析试题分析:解:(1)∵为奇函数,
∴对于定义域中任意实数恒成立,
即 2分
∴ ∴ ∴
∴对于定义域中任意实数恒成立
∵不恒为0,∴ ∴ 4分
当时不符题意
∴ 5分
(2)由(1)得
设1<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=log-log=log
=log 7分
∵ 1<x1<x2,∴ x2-x1>0,
∴ (x1x2-1)+(x2-x1)>(x1x2-1)-(x2-x1)>0
即>1. 9分
∴ f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),在(1,+∞)上是增函数 10分
(3)由(1),不等式>可化为,即
由题意得对于区间[3,4]上的每一个的值,恒成立 2分
令,则区间[3,4]上为增函数
∵ ∴ 15分
考点:函数性质的综合运用
点评:解决的关键是对于函数奇偶性和单调性的灵活运用,以及利用分离参数的思想求解函数的最值得到范围。属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R.
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中,记函数的定义域为D.
(1)求函数的定义域D;
(2)若函数的最小值为,求的值;
(3)若对于D内的任意实数,不等式<恒成立,求实数的取值范围.
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