Question

16．已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（-1，0），长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍，直线l与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足∠OFA+∠OFB=180°；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），2a=$\sqrt{2}$•2b，即a=$\sqrt{2}$b，代入求得：a²=2，b²=1，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）B关于x轴的对称点B₁在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，代入由x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}×k（{x}_{1}+1）+{x}_{1}×k（{x}_{2}+1）}{k（{x}_{1}+1）+k（{x}_{2}+1）}$，此能证明直线l总经过定点M（-2，0）．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意可知：2a=$\sqrt{2}$•2b，即a=$\sqrt{2}$b，
由c=1，则a²=b²+c²=b²+1，
代入求得：a²=2，b²=1，
椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点
证明：由OFA+∠OFB=180°，则B关于x轴的对称点B₁在直线AF上．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₂，-y₂），
设直线AF方程：y=k（x+1），代入$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得：（k²+$\frac{1}{2}$）x²+2k²x+k²-1=0，…（13分）
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，
由直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
AB的方程：y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
令y=0，得：x=x₁-y₁•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，
y₁=k（x₁+1），-y₂=k（x₂+1），
x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}×k（{x}_{1}+1）+{x}_{1}×k（{x}_{2}+1）}{k（{x}_{1}+1）+k（{x}_{2}+1）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=$\frac{2×\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}-\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}}{2-\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}}$=-2，
∴直线l总经过定点M（-2，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线总过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，考查计算能力，属于中档题．