Question

15．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率为$\sqrt{2}$，过左焦点F₁（-c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长F₁E交抛物线y²=4cx于点P，则线段PE的长为（　　）

• A． 2a
• B． 3a
• C． $（{1+\sqrt{5}}）a$
• D． 4a

Answer 1

分析 先有双曲线的性质和离心率得到c=$\sqrt{2}$a，再根据直线和圆相切，求出直线方程和抛物线方程联立方程，求出点P的坐标，即可求出PE的长

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率为$\sqrt{2}$，且e²=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴a=b，c=$\sqrt{2}$a，
∴圆的半径为OE=a，|OF₁|=$\sqrt{2}$a，
∴∠EF₁O=45°
∴直线PE的斜率为1，
∴直线PE的方程为y=x+$\sqrt{2}$a，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4\sqrt{2}ax}\\{y=x+\sqrt{2}a}\end{array}\right.$，
解得x=$\sqrt{2}$a，y=2$\sqrt{2}$a，
∴|PF₁|=$\sqrt{（\sqrt{2}a+\sqrt{2}a）^{2}+（2\sqrt{2}a）^{2}}$=4a，
∴|PE|=|PF₁|-|EF₁|=4a-a=3a
故答案为：3a

点评 本题考查双曲线的性质，抛物线的性质、圆的性质、直线圆的位置关系，属于中档题．