Question

已知函数f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）若f（x）在[-3，a]上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的判断与证明

专题：

分析：（Ⅰ）根据f（x）=（x+1）²-1 在[-3，a]上单调递减，利用二次函数的性质求得a的范围．
（Ⅱ）由题意可得 x∈[1，m]时，x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立．令u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，则

u(1)≤0 u(m)≤0

．令g（t）=t²+2（m+1）t+m²-m，问题转化为当t∈[-4，0]，g（t）的最大值为非正实数．分类讨论，求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2x=（x+1）²-1 在[-3，a]上单调递减，
∴-3＜a≤-1．
（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，
则 x∈[1，m]时，x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立．
令u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，则

u(1)≤0 u(m)≤0

，即

-4≤t≤0 t2+2(1+m)t+m2-m≤0

．
令g（t）=t²+2（m+1）t+m²-m，问题转化为存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0 成立，
即 当t∈[-4，0]，g（t）的最大值为非正实数．
由于函数g（t）的对称轴为t=-1-m＜-2，
①当-1-m＜-4，即 m＞3时，g（t）_min=g（-4）=16-8（m+1）+m²-m≤0，
求得 3＜m≤8．
②当-4≤-1-m≤-2，即 1＜m≤3时，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m≤0，
求得 1＜m≤3．
综上可得，m的范围为（1，8]．

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．