Question

欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水渠壁的倾角α(0°<α<90°)应为多大时，方能使修建成本最低?

Answer 1

当α=60°时，修建成本最低.

试题分析：作BE⊥DC于E(图略)，在Rt△BEC中，BC=,CE=hcotα，又AB-CD=2CE=2hcotα,AB+CD=,故CD=-hcotα.
设y=AD+DC+BC,则y= (0°<α<90°)，由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值，u可看作(0，2)与(-sinα,cosα)两点连线的斜率，由于α∈(0°,90°),点(-sinα,cosα)在曲线x²+y²=1(-1<x<0,0<y<1)上运动，当过(0，2)的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为(-，)，则有sinα=,且cosα=，那么α=60°，故当α=60°时，修建成本最低.
点评：解决的关键是根据三角函数的定义表示边长和长度，以及修建的成本，属于中档题。