Question

18．设f（x）=|3x-2|+|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；
（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m²-m+2）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分情况将原不等式绝对值符号去掉，然后求解；
（Ⅱ）两边同除以|x|，然后求出左边的最小值，解关于m的不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）当x≤$\frac{2}{3}$时，原不等式可化为-（3x-2）-（x-2）≤8，解得x≥-1，故此时-1≤x≤$\frac{2}{3}$；
当$\frac{2}{3}$＜x≤2时，原不等式可化为3x-2-（x-2）≤8，解得x≤4，故此时$\frac{2}{3}$＜x≤2；
当x＞2时，原不等式可化为3x-2+x-2≤8，即x≤3，故此时2＜x≤3．
综上可得，原不等式的解集为{x|-1≤x≤3}．
（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m²-m+2）•|x|恒成立，
则不等式可化为：m²-m+2≤|3-$\frac{2}{x}$|+|1-$\frac{2}{x}$|恒成立．
因为|3-$\frac{2}{x}$|+|1-$\frac{2}{x}$|≥|3-$\frac{2}{x}$+$\frac{2}{x}$-1|=2，
所以要使原式恒成立，只需m²-m+2≤2即可，即m²-m≤0．
解得0≤m≤1．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题的解题思路，一般的不等式恒成立问题要转化为函数的最值问题来解．本题还考查了分类讨论思想的应用．