Question

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数f′（x）=2+cosx，且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x-x²）＞0的实数x的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由函数的导函数可知原函数为定义域内的增函数，且求得原函数，可知原函数是奇函数，把不等式
f（1+x）+f（x-x²）＞0变形后由单调性去掉“f”，求解不等式组得答案．

解答： 解：∵f′（x）=2+cosx＞0，
∴函数f（x）在定义域（-2，2）内为增函数，
由f′（x）=2+cosx，可得f（x）=2x+sinx．
∴函数f（x）为定义域上的奇函数且在x=0处有定义．
由f（1+x）+f（x-x²）＞0，得
f（1+x）＞-f（x-x²）=f（x²-x）．
则

-2＜1+x＜2 -2＜x2-x＜2 1+x＞x2-x

，解得：1-

2

＜x＜1．
∴满足f（1+x）+f（x-x²）＞0的实数x的取值范围是（1-

2

，1）．
故答案为：（1-

2

，1）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式组的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．