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    4．证明函数f（x）=x8-x5+x2-x+1的值恒为正值．

    分析 分类讨论，将代数式变形，即可证明结论．

    解答 证明：x≥1时，f（x）=x8-x5+x2-x+1=x5（x3-1）+x（x-1）+1=x5（x-1）（x2+x+1）+x（x-1）+1≥0+0+1＞1，
    0≤x＜1时，f（x）=x8-x5+x2-x+1=1-x+x2（1-x3）+x8=1-x+x2（1-x）（1+x+x2）+x8＞0，
    x＜0时，f（x）=x8-x5+x2-x+1=x8+（-x）5+x2+（-x）+1＞0．
    总之 f（x）＞0 恒成立．

    点评 本题考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

    练习册系列答案
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    14．设a，b是关于t的方程t2cosθ+t sinθ=0的两个不等实数根，则过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1的公共点的个数为0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    15．函数y=x-ex的增区间为（　　）
    A．（1，+∞）B．（-∞，0）C．（0，+∞）D．（-∞，1）

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    12．方程x2-mnx+m+n=0有整数根，且m．n为自然数，则m、n的有几对，试求出来．

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    19．在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC是边长为3的正三角形，SA=2，则该四面体的外接球的表面积为（　　）
    A．8πB．12πC．16πD．32π

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    9．三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于$\sqrt{3}$．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    16．如图，圆O与直线x+$\sqrt{3}$y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=$\sqrt{3}$x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，以x，y为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．
    （1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；
    （2）若两条直线l1：y=kx和l2：y=-$\frac{1}{k}$x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值．
    （3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{11}{2}n$．数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9项和为153．
    （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
    （2）设${c_n}=\frac{3}{{（2{a_n}-11）（2{b_n}-1）}}$，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn及使不等式${T_n}＜\frac{k}{2014}$对一切n都成立的最小正整数k的值；
    （3）设$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}（n=2l-1，l∈{N^*}）\\{b_n}（n=2l，n∈{N^*}）\end{array}\right.$问是否存在m∈N+，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    14．若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2-2x-3=0截得的弦最短，则直线l的方程是x-y+1=0．

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