给定一个数列{an}.在这个数列里.任取m(m≥3.m∈N*)项.并且不改变它们在数列{an}中的先后次序.得到的数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an=1n+a(n∈N*.a为常数).等差数列a2.a3.a6是数列{an}的一个3子阶数列．(1)求a的值,(2)等差数列b1.b2.-.bm是{an}的一个m(m≥3.m∈N*)阶子� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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给定一个数列{a_n}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N^*）项，并且不改变它们在数列{a_n}中的先后次序，得到的数列{a_n}的一个m阶子数列．
已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

n+a

（n∈N^*，a为常数），等差数列a₂，a₃，a₆是数列{a_n}的一个3子阶数列．
（1）求a的值；
（2）等差数列b₁，b₂，…，b_m是{a_n}的一个m（m≥3，m∈N^*）阶子数列，且b₁=

（k为常数，k∈N^*，k≥2），求证：m≤k+1
（3）等比数列c₁，c₂，…，c_m是{a_n}的一个m（m≥3，m∈N^*）阶子数列，求证：c₁+c₁+…+c_m≤2-

2m-1

．

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的定义及其性质即可得出；
（2）设等差数列b₁，b₂，…，b_m的公差为d．由b₁=

，可得b₂≤

k+1

，再利用等差数列的通项公式及其不等式的性质即可证明；
（3）设c₁=

（t∈N^*），等比数列c₁，c₂，…，c_m的公比为q．由c₂≤

t+1

，可得q=

≤

t+1

．从而c_n=c₁q^n-1≤

(

t+1

)n-1（1≤n≤m，n∈N^*）．再利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．

解答： （1）解：∵a₂，a₃，a₆成等差数列，
∴a₂-a₃=a₃-a₆．
又∵a₂=

2+a

，a₃=

3+a

，a₆=

6+a

，
代入得

2+a

3+a

6+a

，解得a=0．
（2）证明：设等差数列b₁，b₂，…，b_m的公差为d．
∵b₁=

，∴b₂≤

k+1

，
从而d=b₂-b₁≤

k+1

k(k+1)

．
∴b_m=b₁+（m-1）d≤

m-1

k(k+1)

．
又∵b_m＞0，∴

m-1

k(k+1)

＞0．
即m-1＜k+1．
∴m＜k+2．
又∵m，k∈N^*，∴m≤k+1．
（3）证明：设c₁=

（t∈N^*），等比数列c₁，c₂，…，c_m的公比为q．
∵c₂≤

t+1

，∴q=

≤

t+1

．
从而c_n=c₁q^n-1≤

(

t+1

)n-1（1≤n≤m，n∈N^*）．
∴c₁+c₂+…+c_m≤

(

t+1

)1+

(

t+1

)2+…+

(

t+1

)m-1
=

t+1

[1-(

t+1

)m]，
设函数f（x）=x-

xm-1

，（m≥3，m∈N^*）．
当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=x-

xm-1

为单调增函数．
∵当t∈N^*，∴1＜

t+1

≤2．∴f（

t+1

）≤2-

2m-1

．
即 c₁+c₂+…+c_m≤2-

2m-1

．

点评：本题考查了利用等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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