Question

在极坐标系中，为极点，点（2，），（）．

（Ⅰ）求经过，，的圆的极坐标方程；

（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为是参数，为半径），若圆与圆相切，求半径的值．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，再将O、A、B三点的极坐标化为直角坐标，利用待定系数法设出圆的标准方程或一般方程，将O、A、B的坐标代入方程，列出关于参数的方程组，解出参数，就求出了过OAB三点的圆的方程，再利用直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，将过OAB三点圆的直角坐标方程化为极坐标方程；（Ⅱ）将圆D的参数方程化为普通方程，求出圆心坐标与半径，由（Ⅰ）中圆C的直角坐标方程求出圆心C的坐标与半径，利用两圆相切，圆心间的距离等于半径之和或之差，列出关于的方程，解出.

试题解析：（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，

∴点O（0，0），A（0，2），B（2，2）；

过O，A，B三点的圆C的普通方程是(x-1)2+(y-1)2=2，

即x2-2x+y2-2y=0；

化为极坐标方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，

即 5分

（ II）圆D的参数方程是参数，为半径）化为普通方程是(x+1)2+(y+1)2=a2；

圆C与圆D的圆心距|CD|==,

当圆C与圆D相切时，=或=，解得或. 10分

考点：极坐标与做极坐标互化，待定系数法，圆的标准方程，直角坐标方程与极坐标方程互化，参数方程与普通方程互化，两圆的位置关系